Լեոնիդ Ենգիբարյանը ծնվել է Մոսկվայում։ Հայրը (ազգությամբ՝ հայ) «Մետրոպոլ» ռեստորանի շեֆ-խոհարարն էր։ Ենգիբարյանների ընտանիքը ապրում էր Մոսկվայի Մարյինա Ռոշչայում, մեկ հարկանի փայտե տանը։

Մինչև իր կյանքը կրկեսին նվիրելը Ենգիբարյանը փորձել է մի քանի այլ մասնագիտություններ։ 1952 թվականին ավարտելով միջնակարգ դպրոցը՝ ընդունվել է ձկնային տնտեսության ինստիտուտ։ Սակայն այնտեղ սովորել է ընդամենը կես տարի՝ տեղափոխվել է ֆիզկուլտուրայի ինստիտուտ։ Այդ ժամանակ նա պրոֆեսիոնալ բռնցքամարտիկ էր և մինչև 1950-ական թվականների կեսերը լավ արդյունքների էր կարողացել հասնել այդ բնագավառում։

1952-1953 մրցաշրջանում բռնցքամարտի Մոսկվայի առաջնությունում Ենգիբարյանը տանում է 9 հաղթանակ և պարտվում ընդամենը մեկ անգամ։ Արդյունքում գրավում է 3-րդ տեղը իր քաշային կարգում։ 1952 թվականին սկսելով երրորդ կարգից՝ 1954 թվականին արդեն առաջին կարգային բռնցքամարտիկ էր։

Ենգիբարյանը ստեղծել է մնջախաղի էստրադային թատրոնը՝ սկզբնավորելով ինքնատիպ, նոր՝ «ենգիբարյանական ուղղությանը»։ Լավագույն ներկայացումներից են «Աստղային անձրև», «Ծաղրածուի տարօրինակությունները»։ Նա ստեղծել է ողբերգական և կատակերգական տեսարանները, բազմազան կերպարներ ու իրավիճակներ, կիրառել բարդ հնարքներ, որոնք ցուցադրել է նաև կրկեսում։ Խոհափիլիսոփայական երանգ ունեն Ենգիբարյանի «Փողոցային ակրոբատ», «Քայլեր», «Ողջ ու մեռածը», «Բռնցքամարտ», «Սիրտը ափի մեջ», «Հովանոց», «Ջութակ», «Լույս և ստվեր» և այլ մանրապատումներ։

Լեոնիդ Ենգիբարյանը մահացել է Մոսկվայի իր բնակարանում։

1972 թվականին Երևանում ստեղծվել է Ենգիբարյանի անվան մանկական կրկես-ստուդիան (հիմնադիր և ղեկավար՝ Սոս Պետրոսյան), կրկեսի շենքի առջև կանգնեցվել է նրա հուշարձանը (1995 թվական), քանդակագործ՝ Լևոն Թոքմաջյան)։